意味
①「適切な，ふさわしい，きちんとした」
②「本来の，固有の」（proper noun「固有名詞」）
副詞 properly「適切に，きちんと」
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① You need proper training to use this machine.
この機械を使うにはきちんとした訓練が必要だ。
I haven't had a proper meal for days.
何日もまともな食事をしていない。
The TV isn't working properly.
テレビがきちんと動いていない。
名詞の後ろに置く用法
名詞の後ろに置くと「厳密な意味での～，～そのもの」
the city proper「（郊外を除いた）市そのもの，市の中心部」
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Before the meeting proper, we had a short break.
会議の本題に入る前に，短い休憩をとった。
「本来の，それ自体の」という②の意味がもとになっています。長文で見落としやすいので注意しましょう。
類義語との使い分け
proper：規則や常識に照らして「正しい，きちんとした」
appropriate：場面や目的に照らして「ふさわしい」（appropriate for ～）
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This movie is not appropriate for children.
この映画は子どもにはふさわしくない。
両者は重なる部分も多いですが，「～にふさわしい」と対象を示すときは appropriate for ～ がよく使われます。