意味
形容詞：「複雑な，入り組んだ；複合の」⇔ simple
名詞：①「複合施設，団地」②「（心理的な）強迫観念，コンプレックス」
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The human brain is extremely complex.
人間の脳は極めて複雑だ。
① They live in a large apartment complex.
彼らは大きなマンション団地に住んでいる。
「いくつもの部分が組み合わさった」が核となる意味です。complicated が「ややこしくてわかりにくい」という否定的な響きを持つのに対して，complex は「要素が多く構造が複雑」という客観的な語です。名詞 complexity は「複雑さ」です。
和製英語の「コンプレックス」
「～がコンプレックスだ」→ be self-conscious about ～ ／ have a complex about ～
「劣等感」は an inferiority complex
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She is self-conscious about her height.
彼女は背の高さを気にしている。
日本語の「コンプレックス」は「劣等感」の意味で使われますが，英語の complex だけでは「劣等感」にはなりません。日常的には self-conscious「人目を気にする」を使うと自然です。