意味・用法
① engage in ～ ／ be engaged in ～「～に従事する，参加する，携わる」
② be engaged to 人「人と婚約している」
③ engage O「O（注意・関心）を引く」
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① Many students engage in volunteer activities.
多くの学生がボランティア活動に参加している。
② She is engaged to a doctor.
彼女は医者と婚約している。
「引き込む，従事させる」がもとの意味です。名詞形は engagement「婚約；（会う）約束；関与」です（an engagement ring「婚約指輪」）。
前置詞で変わる意味
be engaged in ～「～に従事している」
be engaged to 人「人と婚約している」（× be engaged with 人）
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「～と結婚している」も be married to 人 と to を使います。日本語の「～と」に引きずられて with を使わないようにしましょう。