意味・用法
insist on ～ ／ on doing「～を（～することを）言い張る，強く要求する」
insist that …「…だと言い張る／…すべきだと強く要求する」
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He insisted on paying for dinner.
彼は夕食代を自分が払うと言い張った。
名詞形は insistence「主張，強要」です。
that 節の動詞の形
要求：insist that S (should) 原形「…すべきだと強く要求する」
主張：insist that S V（ふつうの時制）「…だと言い張る」
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She insisted that he (should) apologize.
彼女は彼が謝るべきだと強く要求した。
He insisted that he was innocent.
彼は自分は無実だと言い張った。
「（これから）～すべきだ」という要求なら (should) ＋ 原形，「（事実として）～だ」という主張なら通常の時制を使います（「仮定法 Level 3」）。
よくある誤り
× insist to pay → ○ insist on paying