意味・用法
be willing to do「～するのをいとわない，（必要なら）喜んで～する」
⇔ be unwilling (reluctant) to do「～するのに気が進まない」
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I'm willing to help you if you need it.
必要なら喜んでお手伝いします。
He was unwilling to admit his mistake.
彼は自分の誤りをなかなか認めようとしなかった。
副詞 willingly は「進んで，快く」，名詞 willingness は「いとわない気持ち，意欲」です。
ニュアンス
be willing to do は「積極的にしたい」よりも，
「（頼まれれば・必要なら）しても構わない」に近い
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「ぜひ～したい」と積極性を表すなら be eager to do を使います。「喜んで」と訳されることが多いですが，「抵抗がない，いやではない」というのが中心の意味です。